Часть 1: Наблюдения всеобщих свойств
Часть 2: Гомогенность и изотропия; Много растояний; Масштабный фактор
Часть 3: Кривизна пространства; Плоскость-Старость; Горизонт
Часть 4: Инфляция; Анизотропия и негомогенность

Гомогенность и Изотропия

Космологический принцип:

Вселенная Гомогенна и Изотропна

Говоря, что Вселенная гомогенна, мы имеем в виду, что любое измеряемой свойство Вселенной везде одинаково. Это верно лишь приблизительно, но, по видимому, это является очень хорошим приближением, когда измерения усредняются в очень большой области. Поскольку возраст Вселенной является одной из измеряемых величин, гомогенность Вселенной должна определяться на поверхности постоянного времени, прошедшего с момента Большого взрыва. Замедление времени приводит к тому, что измеренное наблюдателем время зависит от скорости движения наблюдателя, поэтому мы определили, что переменная времени t законе Хаббла является собственным временем с момента Большого взыва для совместно движущихся наблюдателей.

Много расстояний

При верной интерпретации переменных, закон Хаббла (v = HD) справедлив для любых значений D, даже для очень больших значений, которые дают v > c. Однако, необходимо быть осторожным в интерпретации расстояний и скоростей. Растояние в законе Хаббла должно определяться таким образом, чтобы если A и B - это две удаленные галактики, видимые нами в одном направлении, и A и B не далеки друг от друга, то разница расстояний от нас, D(A)-D(B), есть расстояние, которое A измерило бы до B. Однако, это измерение должно быть сделано "теперь" -- т.е. A должно измерить расстояние до B в то же собственное время с момента Большого взрыва, которое мы видим сейчас. Так, чтобы определить D_сейчас для дальней галактики Z нам следует найти цепочку галактик ABC...XYZ вдоль пути к Z, такую, что каждый элемент цепочки близок к своим соседям, и затем каждая галактика в цепи измерит расстояние до следующей галактики в момент времени t_o с момента Большого взрыва. Растояние до Z, D(от нас до Z), является суммой всех этих интервалов:

D_сейчас = D(от нас до Z) = D(от нас до A) + D(от A до B) + ... D(от X до Y) + D(от Y до Z)

И скорость в законе Хаббла есть изменение D_сейчас в единицу времени. Это близко к величине cz при малых красных смещениях, но отклоняется для больших значений. Пространственно-временная диаграмма ниже повторяет пример из Части 1 и показывает, как изменение точки наблюдения от наблюдателя A к наблюдателю B сохраняет неизменным закон Хаббла о линейном изменении скорости по отношению к расстоянию:
linear v к D пространство-время со световыми конусами

linear v к D пространство-время со световыми конусами

однако здесь также показаны световые конусы. Заметьте, как световые конусы венчают мировые линии галактик, показывая, что в этих космологических переменных скорость света равна c по отношению к локальным одинаково движущимся наблюдателям.

Время и расстояние, используемые в законе Хаббла, не те же самые, что x и t, используемые в специальной теории относительности, и это часто приводит к неразберихе. В часности, достаточно удаленные от нас галактики с необходимостью имеют скорости больше скорости света:

Световые конусы для далеких галактик на верхней диаграмме направлены остриями к прошлому, показывают v > c. Пространственно-временная диаграмма, приведенная ниже, показывает космологическую модель с "нулевой" (на самом деле очень низкой) плотностью, изображенную с использованием переменных D_now и t из закона Хаббла.
пространство-время с Omega=0

Мировые линии соседних наблюдателей показаны вместе с небольшими, схематичными световыми конусами. Красный грушевидной формы объект - это наш световой конус прошлого. Отметим, что красная кривая всегда имеет наклон, соответствующий наклону маленьких световых конусов. В этих переменных, скорости, превышающие c, разумеется возможны, и поскольку открытая Вселенная пространственно бесконечна, они действительно необходимы. Однако никакого противоречия с принципом специальной теории относительности о том, что объект не может перемещаться со скоростью больше скорости света, тут нет, поскольку, если мы нарисуем точно такую же пространственно-временную диаграмму в специальных релятивистских x и t координатах, то получим:
модель с Omega=0 в координатах СТО

Серые гиперболические кривые показывают поверхности постоянного собственного времени, прошедшего с момента Большого взрыва. Если спрямить эти линии так, чтобы получить предыдущую пространственно-временную диаграмму, то мировые линии галактик станут более плоскими, что даст кажущиеся скорости v = dD_now/dt больше, чем c. Однако, в координатах специальной теории отностельности скорости остаются меньше, чем c. Мы также видим, что наши световые конусы прошлого пересекают мировые линии большинства удаленных галактик на расстоянии из специальной теории относительности x = c*t_o/2. Однако расстояние в законе Хаббла D_now, которое измеряется сегодня, для этих наиболее удаленных галактик является бесконечным (в этой модели). Более того, эта галактика, имеющая в терминах закона Хаббла бесконечное удаление и, следовательно, бесконечную скорость, видна нам, поскольку в этой модели наблюдаемая Вселенная равняется всей Вселенной. Соотношения между расстоянием и скоростью в законе Хаббла (D_now & v) а также красным смещением z приведены ниже:

v = H_oD_now
D_now = (c/H_o)ln(1+z)
1+z = exp(v/c)

Заметим, что закон красное смещение-скорость не является законом Допплеровского смещения в Специальной теории относительности

1+z = sqrt[(1+v/c)/(1-v/c)]

который применим лишь к особым релятивистским координатам, но не к космологиеским координатам.

Хотя расстояние в законе Хаббла является в принципе величиной измеряемой, однако необходимость в помощниках вдоль цепи галактик вплоть до дальней галактики делает её использование совершенно непрактичным. Другие расстояния можно определить и измерить более просто. Одним из них является расстояние углового размера, определяемое как

&theta = size/D_A    so   D_A = size/&theta

где "размер" есть поперечная протяженность объекта, а "&theta" есть угол (в радианах) который объект закрывает на небе. В модели с нулевой плотностью, величина специальной теории относительности x равна расстоянию углового размера, x = D_A.

Другим важным индикатором расстояния является поток излучения, получаемого от объекта, которые определяет яркостное расстояние D_L посредством соотношения

Поток излучения = Яркость/(4*pi*D_L²)

Четвертый вид расстояния основан на времени путешествия света: D_ltt = c*(t_o-t_em). Люди, которые считают, что самые дальние видимые нами расстояния равны c*t_o используют именно этот вид расстояний. Однако D_ltt = c*(t_o-t_em) не является удобным расстоянием, поскольку очень сложно определить t_em, возраст Вселенной в момент испускания того света, что мы видим. В конечном итоге, красное смещение оказывается очень важным показателем расстояния, поскольку легко поддается измерению в астрономии, тогда как для определения D_A or D_L необходимо рассчитать размер или светимость объектов, которые всегда очень трудно поддаются определению. Красное смещение является таким полезным индикатором расстояний, что это позор, когда журналисты-научные обозреватели, сговариваются вычищать его из своих статей: они, должно быть, изучали правило "5 w's but no z" в своих школах журналистики.

Предсказываемая связь одного индикатора расстояния с другим зависит от космологической модели. Зависимость красное смещение - расстояние для сверхновой типа Ia, показанная ранее, на самом деле является зависимостью cz от D_L, поскольку для определения расстояния до сверхновой мы использовали поток излучения. Эти данные ясно опровергают модели, в котрых нет линейной связи cz и D_L при малых cz. Распространение этих наблюдений на более удаленные сверхновые постепенно позволяет нам измерить кривизну соотношения cz и D_L, и обеспечивает все более ценную информацию о Вселенной.

Точное совпадение реликтового излучения с излучением абсолютно черного тела позволяет нам определить соотношение D_A - D_L. Реликтовое излучение, испускаемое с больших расстояний, тем не менее выглядит, как чернотельное, поэтому удаленное черное тело должно выглядеть, как черное тело (несмотря на то, что его температура будет изменяться из-за красного смещения). Светимость абсолютно черного тела равна

L = 4*pi*R²*&sigma*T_em⁴

где R есть радиус, T_em есть температура излучающего абсолютно черного тела, а &sigma есть постоянная Стефана-Больцмана. При наблюдении объекта при красном смещении z, наблюдаемая температура составит

T_obs = T_em/(1+z)

а поток излучения

F = &theta²*&sigma*T_obs⁴

где угловой радиус связан с физическим радиусом как

&theta = R/D_A

Совместно решая эти уравнения, получим

D_L² = L/(4*pi*F)
    = (4*pi*R²*&sigma*T_em⁴)/(4*pi*&theta²*&sigma*T_obs⁴)
    = D_A²*(1+z)⁴

      или
 D_L = D_A*(1+z)²

Модели, не способные предсказать такую связь между D_A и D_L, такие, как хронометрическая модель либо модель уставшего света, в результате отбраковываются наблюдаемыми свойствами реликтового излучения.

Здесь имеется Javascript калькулятор, который на основе H_o, _M, нормализованной космологической постоянной и красного смещения z рассчитывает все эти расстояния. На этом рисунке изображены необходимые уравнения для расчета этих расстояний. Приведенные ниже графики показывают зависимости этих расстояний от красного смещения для трех различных моделей: модель Эйнштейна-де Ситтера (EdS) с доминированием материи критической плотности, модель пустоты, и ускоряющаяся -CDM модель (LCDM), которая является сегодняшней популярной моделью.

Отметим, что все эти расстояния очень похожи для малых красных смещений, при D = cz/H_o, но различные типы расстояний существенно различаются при больших красных смещениях. Также отметим, что эти отклонения зависят от того, в какого типа Вселенной мы живем. Точные измерения отклонений D_L от cz/H_o это именно то, что говорит нам, что расширение Вселенной ускоряется.

Масштабный фактор a(t)

Поскольку скорость или dD_now/dt прямо пропорциональна D_now, то расстояние между любой парой совместно движущихся объектов взрастает а (1+H*dt) раз в течение интервала времени dt. Это означает, что мы можем записать расстояние до любого совместно движущегося наблюдателя, как

D_G(t) = a(t)*D_G(t_o)

где D_G(t_o) есть расстояние D_now до галактики G теперь, тогда как a(t) является универсальным масштабным фактором, применимым ко всем совместно движущимся объектам. Из его определения очевидно, что a(t_o) = 1.

Мы можем рассчитать динамику Вселенной, рассмотрев объект на расстоянии D(t) = a(t) D_o. Это расстояние и соответствующая ему скорость dD/dt измерены по отношению к нам, находящимся в центре координатной системы. Гравитационное ускорение, создаваемое сферическим шаром материи с радиусом D(t) равно g = -G*M/D(t)², где масса равна M = 4*pi*D(t)³*rho(t)/3. Rho(t) есть плотность материи, которая зависит только от времени, прошедшего с тех пор, когда Вселенная стала гомогенной. Масса, находящаяся в пределах D(t) не зависит от времени, поскольку внутренняя материя имеет небольшие скорости расширения, тогда как внешняя материя имеет высокую скорость расширения, и потому остается снаружи. Гравитационное воздействие внешней материи исчезает: гравитационное ускорение внутри сферической полости равно нулю, а вся материя Вселенной, находящаяся от нас на расстоянии более, чем D(t) может быть представлена как совокупность сферических оболочек. Внутреннее вещество с постоянной массой в пределах D(t) оказывает на край ускорение таким образом, что проблема сводится к проблеме тела, радиально движущегося в гравитационном поле точечной массы. Если скорость тела меньше, чем скорость убегания (вторая космическая скорость), то расширение остановится и начнется сжатие. Если скорость равна скорости убегания, то мы имеем критический случай. Отсюда следует, что

v = H*D = v(esc) = sqrt(2*G*M/D)
    H²*D² = 2*G*(4*pi/3)*rho*D²  или

rho(crit) = 3*H²/(8*pi*G)

При rho менее или равной критической плотности rho(crit), Вселенная расширяется вечно, тогда как при rho более rho(crit), Вселенная в конечном итоге прекратит расширение и начнет вновь сжиматься. Величина rho(crit) при H_o = 71 км/сек/МПс равна 9E-30 = 9*10^-30 г/см³ или 6 протонов на кубический метр или 1.4E11 = 1.4*10¹¹ солнечных масс на кубический Мегапарсек. Последнюю величину можно сравнить с наблюдаемыми 1.85E8 = 1.85*10⁸ солнечными светимостями на МПс³, что требует отношения масса-светимость порядка 760 в солнечных единицах для того, чтобы замкнуть Вселенную. Если плотность хоть сколько-нибудь близка к критической, то большая часть материи должна быть слишком темна, чтобы ее можно было наблюдать. Текущие оценки плотности показывают, что плотность материи находится в интервале от 0.2 до 1 критической плотности, и это требует, чтобы большая часть материи во Вселенной была темной.

Следующая часть

Домашняя страничка Неда Райта (Ned Wright)