Учебник космологии

Предыдущая часть

Часть 1: Наблюдения всеобщих свойств
Часть 2: Гомогенность и Изотропия; Много расстояний; Масштабный фактор
Часть 3: Кривизна пространства; Плоскостность-Старость; Горизонт
Часть 4: Инфляция; Анизотропия и Негомогенность

Кривизна пространства

Одним из следствий общей теории относительности является то, что кривизна пространства зависит от отношения плотности Вселенной r к r(критической). Мы обозначаем это отношение величиной W = r/r(крит). При W менее 1, Вселенная имеет отрицательную кривизну или гиперболическую геометрию. При W = 1, Вселенная подчиняется геометрии Эвклида или плоской геометрии. При W больше 1, Вселенная имеет положительную кивизны или подчиняется сферической геометрии. Мы уже видели, что в случае нулевой плотности мы имеем гиперболическую геометрию, поскольку ломтики космического времени в специальных релятивистских координатах в этой модели являются гиперболоидами.

На рисунке выше показаны три случая кривизны, показанные вдоль стороны с соответствующими значениями a(t). Эти кривые a(t) предполагают, что космологическая постоянная равна нулю, что не соответствует текущей стандартной модели. W > 1 по прежнему соответствует сферической форме, однако расширение может быть вечным, даже при плотности больше критической плотности, благодаря эффекту гравитационного отталкивания космологической постоянной.

Возраст Вселенной зависит от W_o также как и H_o. При W=1, случай критической плотности, масштабный фактор равен

a(t) = (t/t_o)^2/3

а возраст Вселенной

t_o = (2/3)/H_o

тогда как в случае нулевой плотности, W=0, и a(t) = t/t_o при t_o = 1/H_o.

Если W_o больше 1, то возраст Вселенной будет даже меньше, чем (2/3)/H_o.

W=0,1,2">
На приведенном выше рисунке показана зависимость масштабного фактора от времени, измеренного в миллиардах лет в обе стороны от текущего момента при H_o = 65 км/сек/МПс и W_o = 0 (зеленый), W_o = 1 (черный), и W_o = 2(красный). Возраст Вселенной равен 15, 10 и 8.6 Миллиардов лет в этих трех моделях. Повторное сжатие в модели с W_o = 2 происходит в момент, когда Вселенная в 11 раз старше, чем ее текущий возраст, а все наблюдения свидетельствуют о том, что W_o < 2, поэтому у нас есть по меньшей мере еще 80 миллиардов лет до какого-либо Большого хруста.

Величина H_o*t_o является безразмерной и должна равняться 1, если Вселенная почти пуста и 2/3, если Вселенная имеет критическую плотность. В 1994г Фридман (Freedman) с соавт. (Nature, 371, 757) определил H_o = 80 ± 17 и учитывая, что t_o = 14.6 ± 1.7 Млрд.лет, можно показать, что H_o*t_o = 1.19 ± 0.29. Сама величина соответствует случаю пустой Вселенной, однако ошибка в два стандартных отклонения в направлении вниз приведет нас к случаю Вселенной критической плотности. Поскольку как возраст шаровых скоплений, так и величина H_o, использованные выше, одинаковым образом зависят от шкалы расстояний, то обнаружение ошибки в шкале расстояний может вызвать значительные изменения в H_o*t_o. Фактически, последние данные от спутника HIPPARCOS показывают, что расстояние до Цефеид должно быть увеличено на 10%, а также [возраст шаровых скоплений] должен быть уменьшен на 20%. Если мы возьмем для расчета последние величины от HST для H_o = 72 ± 8 (Фридман с соавт. 2001г, Апрель, 553, 47) и последние возраста шаровых скоплений t_o = 13.5 ± 0.7 Млрд.лет, то найдем, что H_o*t_o = 0.99 ± 0.12, что согласуется с пустой Вселенной, но также согласуется в ускоряющейся Вселенной, что является текущей стандартной моделью.

Проблема Плоской-Старой Вселенной

Однако, если W_o существенно больше 1, то Вселенная, в конечном итоге, прекратит расширяться, и тогда W станет бесконечной. Если W_o меньше 1, то Вселеная будет расширяться вечно и плотность снижается быстрее критической плотности, поэтому W будет становиться все меньше и меньше. Таким образом, W = 1 является нестабильным стационарным состоянием, пока расширение Вселенной не начнет ускоряться, и это совершенно замечательно, что W в настоящий момент близка к 1.

На рисунке выше приведены значения a(t) для трех моделей при трех различных плотностях в момент времени 1 наносекунда после Большого взрыва. Черная кривая показывает случай критической плотности с плотностью = 447,225,917,218,507,401,284,016 г/см³. Добавка лишь 1 г/см³ к этим 447 секстилионам г/см³ вызывает Большой хруст прямо сейчас! Удаление 1 г/см³ приводит к модели с W, которая слишком мала для наших наблюдений. Таким образом, плотность через 1 нсек после Большого взрыва установлена с точностью лучше, чем 1 часть на 447 секстилионов. Для более ранних моментов она была установлена с точностью выше, чем 1 часть в 10⁵⁹! Если плотность Вселенной была бы чуть выше, то Вселенная умерла бы в раннем Большом хрусте, это называется проблемой "старости" в космологии. И поскольку Вселенная с критической плотностью имеет плоскую постранственную геометрию, эту проблему также называют проблемой "плоской" -- или проблемой "плоской-старой" Вселенной. Каким бы ни был механизм установления плотности, равной критической плотности, работает он исключительно хорошо, и это было бы замечательным совпадением, если W_o окажется близкой к 1, но не в точности 1.

Манипулирование диаграммами пространство-время

Модель с критической плотностью показана на диаграмме пространство-время ниже.

Заметим, что мировые линии галактик теперь искривлены, благодаря силе гравитации, вызывающей замедление расширения. Фактически, для этой модели с W_o = 1 каждая мировая линия является произведением a(t) на постоянную величину (t/t_o)^2/3. Красный грушевидный объект является нашим световым конусом прошлого. Если мы рисуем эту диаграмму с нашей точки зрения, то Вселенная гомогенна, поэтому диаграмма, изображенная с точки зрения любой другой галактики на диаграмме должна быть точно такой же.
Omega=1 on cards

Верхний рисунок показывает пространственно-временную диаграмму, нарисованную на колоде карт, а на нижнем рисунке показана колода, сдвинутая так, чтобы поместить ее в точку налюдения галактики A.
Omega=1 on skewed cards

Отметим, что это не является преобразованием Лоренца, а эти координаты не являются координатами специальной теории относительности, к которым применяют преобразование Лоренца. Преобразование Галилея, которое можно провести отклонением карт таким образом требует, чтобы край колоды оставался прямым, и в любом случае преобразование Лоренца не может быть проведено над картами таким образом, потому что здесь нет абсолютного времени. Однако в косологических моделях у нас есть космическое время, которое является подходящим временем, прошедшим с момента Большого взрыва, измеренным движущимися рядом наблюдателями, и оно может быть использовано для такой колоды карт. Присутствие в этой модели гравитации приводит к искривлению пространства-времени, которое невозможно изобразить на плоской диаграмме пространстве-времени без искажений. Если каждая система координат является искаженным представлением Вселенной, то мы можем также использовать подходящую координатную систему и просто отражать искажения соответствующими световыми конусами.

Иногда оказывается удобным "убрать" расширение Вселенной, и пространственно-временная диаграмма показывает результат от деления пространственной координаты на a(t). Теперь все мировые линии галактик стали вертикальными прямыми линиями.

$Omega=1 t vs X_{cm} diagram$
Такое деление расширило наш световой конус прошлого так сильно, что нам придется перерисовать рисунок, чтобы увидеть конус целиком:
$Omega=1 t - X_{cm} диаграмма широкое-поле$
Если теперь мы "растянем" ось времени вблизи Большого взрыва, то получим следующую пространственно-временную диаграмму, световой конус прошлого в которой образован прямыми линиями:
Omega=1 конформная диаграмма

Этот вид пространственно-временных диаграмм называют "конформными" простанственно-временными диаграммами, и хотя они в значительной степени искажают картину, это облегчает понимание того, куда идет свет. Сделанное нами преобразование аналогично меркаторской проекции Земного глобуса, изображение которого приведено ниже слева на карту, приведенную справа.
Вид глобуса и его меркаторская проекция

Отметим, что постоянное направление на юго-запад является в меркаторской проекции прямой линией, что является аналогом прямых линий световых конусов прошлого на конформной пространственно-временной диаграмме.

Также вспомним, что при W_o = 1 пространство-время является бесконечным, поэтому конформная пространственно-временная диаграмма может простираться далеко за пределы нашего светового конуса прошлого,

Конформная пространственно-временная диаграма широкого поля

как показано выше.

Для построений могут использоваться и другие системы координат. Изображение пространственной координаты как угла в полярной системе координат облегчает переход к другим точкам зрения. На приведенной ниже диаграмме,

Omega_o = 2 диаграмма пространство-время в полярных координатах

изображена модель с W_o = 2 (которая действительно является "круглой") таким образом, что a(t) является радиусом. Световой конус прошлого для наблюдателя в этой модели достигает половины размера Вселенной.

Проблема горизонта

Конформная диаграмма пространство-время является хорошим инструментом для описания значения наблюдений анизотропии реликтового излучения. Вселенная, до того как при температуре около 3,000 K и красном смещении порядка 1+z = 1090 протоны и электроны объединились с образованием водорода, была непрозрачной. После этого времени фотоны реликтового излучения свободно путешествовали в пространстве прозрачной Вселенной и мы видим их сегодня. Таким образом, температура реликтового излучения в данном участке неба должна была определяться временем образования атомов водорода, обычно называемым моментом "рекомбинации", хотя это происходило впервые, поэтому термин "комбинация" представляется более подходящим. Поскольку длины волн реликтового излучения вели себя также в ходе расширения Вселенной, как межгалактические расстояния, мы знаем, что a(t) в момент рекомбинации должен равняться 0.0009. Для модели с W_o = 1 это подразумевает, что t/t_o = 0.00003, поэтому при t_o около 14 млрд.лет время рекомбинации с момента Большого взрыва составляет около 380,000 лет. Это такая маленькая доля по сравнению с текущим возрастом, что "растягивание" временной оси при изображении конформной пространственно-временной диаграммы оказывается очень полезным для увеличения этой части истории Вселенной.

Omega_o = 1 conformal space-time diagram

Приведенная выше конформная пространственно-временная диаграмма преувеличвает эту часть даже в большей степени, принимая величину красного смещения в точке рекомбинации, равной 1+z = 144, что изображено на рисунке голубой горизонтальной линией. Желтые участки являются световыми конусами прошлого событий, которые находились на наших световых конусах прошлого в момент рекомбинации. Любое событие, влияющее на температуру реликтового излучения, которое мы видим на левой части неба должно произойти в пределах левой желтой области. Любое событие, которое влияет на температуру реликтового излучения с правой стороны неба должно произойти в пределах правого желтого участка. Эти две области совсем не имеют общих событий, однако две соответствующие температуры равны с точностью лучше, чем 1 часть на 10,000. Как такое возможно? Эта проблема в космологии известна под именем проблемы "горизонта".

Следующая часть

Домашняя страничка Неда Райта (Ned Wright)