Ускоренная сходимость при создании карты

Основной алгоритм Wright, Hinshaw и Bennett (алгоритм WHB) очень прост: изменение X карты таково:

dX = (B-AX)/diag(A)

Хотя эта процедура сходится, она часто делает это очень медленно. Обычно существует осциллирующий член, для которого остатки изменяются приблизительно в -0.9 раза на одну итеррацию. Сходимость процедуры можно улучшить, заменив алгоритм расчета на следующий:

dX = f*(B-AX)/diag(A)

где фактор скорости f подобран так, чтобы исключить осциллирующий член. На приведенном ниже графике показана скорость сходимости для исходного алгоритма WHB черным, и ускоренная версия, использующая различные f синим и зеленым. Данное моделирование охватывало период наблюдений в 181 день, причем 2 из каждых 3 часов не учитывались, с целью минимизировать количество необходимого времени, чтобы обработать упорядоченные во времени данные, что требует осуществления перемножений матриц, требуемое членом AX.

Синяя и зеленая версии различались тем, как в них происходило увеличение f до значений более 1, однако за счет этой разницы было достигнуто незначительное общее повышение скорости расчета. Красной кривой показан другой подход, в котром использовался метод сопряженных градиентов. Заметьте, что красная кривая показывает в 10 раз более быструю сходимость в расчете на полный цикл моделирования. На данном графике нанесены остатки ||AX-B||, которые поддаются расчету для реального эксперимента. На самом деле мы предпочитаем знать ||X-T||, где T есть действительная карта, однако мы не можем рассчитать эту величину для реальных данных.

При применении данного метода по отношению к более хорошим данным картирования, например при моделировании данных за 1 год, выигрыш в скорости для метода сопряженных градиентов уменьшается, как показано ниже:

Ускоренный расчет по методу WHB, показанный черным, был остановлен, и его конечная карта использовалась для расчета методом сопряженных градиентов, что показано красным дополнением к черной кривой. Отметим быстрое исчезовение остатков. Если мы начинали использовать метод сопряженных градиентов при X=0 мы получали красную кривую, которая имела существенно более быструю сходимость, чем прежний метод WHB.

Метод сопряженных градиентов требует симметричных матриц, а матрица A не является симметричной, если мы не учитываем данные с опорным лучем в плоскости Галактики. Но если мы ограничим вектор X областью за пределами исключительной галактической зоны, тогда


C
C       с исключительной зоной структура матриц такова
C
C       /       \ /   \   /   \
C       | A'  0 | | x |   | b |
C       |       | |   | = |   |
C       | C   D | | y |   | e |
C       \       / \   /   \   /
C
C       где A' есть симметричная, а D - диагональная матрицы. x есть часть карты,
C       вне исключительной зоны Галактики, а y есть исключительная зона Галактики.
C

C
C       Прежде всего, мы решаем Ax = b методом сопряженных градиентов:
C
C       x = b/diag(A)
C       r = b-Ax
C       g = r/diag(A)
C
C       while ||r|| слишком велико do
C         rho = r*g
C         if first beta = 0 else beta = rho/rho'
C         p = g + beta*p
C         q = Ap
C         x = x+[rho/(p*q)]*p
C         r = r-[rho/(p*q)]*p
C         rho' = rho
C       endwhile
C
C       Затем мы заполняем часть карты, соответствующую Галактике с помощью
C       y = (E-Cx)/D
C

Выше приведен фрагмент вычислений с частичным использованием инструкций языка программирования фортран. Этот фрагмент оставлен без перевода, т.к. в таких обозначениях он будет более понятен тем, кто знаком с программированием. - Прим. Переводчика

Программы (Фортран):

Назад к индексу MAP@UCLA

Edward L. Wright, 30 April 2001
..:: Перевел с английского В.Г. Мисовец